L'équation donnée est définie pour :
\[
x \not\equiv \frac{\pi}{4}\;\;\Big[\frac{\pi}{2}\Big]
\et
x \not\equiv 0 \;\;[\pi].
\]
Comme chacun des membres de l'équation est de période $\pi$,
on peut se limiter à en chercher les solutions dans $\mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}$.
Vu les problèmes de définition, nous allons donc travailler sur :
\[
D = \mathopen{\Big]}0,\frac{\pi}{4}\mathclose{\Big[}
\cup
\mathopen{\Big]}\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\mathclose{\Big[}
\cup
\mathopen{\Big]}\frac{3\pi}{4},\pi\mathclose{\Big[}.
\]
Pour tout $x\in D$, l'équation s'écrit :
\[
8\,\cos ^{2}x
= \frac{\sin 2x}{\cos 2x}+\frac{\cos x}{\sin x}
=\frac{\cos x}{\cos 2x\,\sin x}
\]
ou encore :
\[
\frac{\cos x\,(8\cos x\,\sin x\cos 2x -1)}{\cos 2x\,\sin x} = 0.
\]
Comme :
\[
8\cos x\,\sin x\cos 2x = 4\,\sin 2x\,\cos2x = 2\, \sin 4x,
\]
l'équation donnée est équivalente à :
\[
\cos x\,(2\, \sin 4x-1)=0.
\]
Par suite, un réel $x$ en est solution si, et seulement si, l'on a :
\[
\cos x = 0 \ou 2\, \sin 4x-1=0.
\]
-
- L'équation $\cos x=0$ a comme seule solution dans $D$ :
\[
x =\frac{\pi }{2} ;
\]
- L'équation $2\sin 4x=1$ ou encore $\sin 4x=\frac{1}{2}$
a comme solutions :
-
- soit $4\,x \equiv \frac{\pi }{6}\;[2\pi]$,
ou encore :
$$\ds x \equiv \frac{\pi }{24}\,\Big[\frac{\pi }{2}\Big]$$
et donc dans $D$ :
\[
x = \frac{\pi }{24} \ou x = \frac{13\,\pi }{24} ;
\]
- soit $4\,x \equiv \frac{5\pi }{6}\;[2\pi]$,
ou encore :
$$\ds x \equiv \frac{5\,\pi }{24}\,\Big[\frac{\pi }{2}\Big]$$
et donc dans $D$ :
\[
x = \frac{5\,\pi}{24} \ou x = \frac{17\,\pi }{24}\cdot
\]
Ainsi l'ensemble des solutions dans $D$ de l'équation donnée est :
\[
\Big\{ \frac{\pi}{24} \, ,\, \frac{5\,\pi}{24}
\, ,\, \frac{\pi}{2} \, ,\, \frac{13\,\pi}{2}
\, ,\, \frac{17\,\pi}{2} \Big\}\cdot
\]